(1). 常数与幂函数#

• $(C)' = 0$
• $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$
• $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$

(2). 指数与对数函数#

• $(a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)$
• $(e^x)' = e^x$
• $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1)$
• $(\ln \vert{}x\vert{})' = \frac{1}{x}$

(1). 三角函数#

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\tan x)' = \sec^2 x$
• $(\cot x)' = -\csc^2 x$
• $(\sec x)' = \sec x \tan x$
• $(\csc x)' = -\csc x \cot x$

(2). 反三角函数#

• $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
• $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
• $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$
• $(\text{arccot}\, x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$
• $(\text{arcsec}\, x)' = \frac{1}{\vert{}x\vert{}\sqrt{x^2 - 1}}$
• $(\text{arccsc}\, x)' = -\frac{1}{\vert{}x\vert{}\sqrt{x^2 - 1}}$

(1). 双曲函数#

• 双曲正弦：$(\sinh x)' = \cosh x$
• 双曲余弦：$(\cosh x)' = \sinh x$
• 双曲正切：$(\tanh x)' = \text{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$
• 双曲余切：$(\coth x)' = -\text{csch}^2 x = 1 - \coth^2 x$

(2). 反双曲函数#

• 反双曲正弦：$(\text{arsinh}\, x)' = \left(\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
• 反双曲余弦：$(\text{arcosh}\, x)' = \left(\ln(x + \sqrt{x^2 - 1})\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \quad (x > 1)$
• 反双曲正切：$(\text{artanh}\, x)' = \left(\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}\right)' = \frac{1}{1 - x^2} \quad (\vert{}x\vert{} < 1)$

(1). 四则运算#

• $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• $(uv)' = u'v + uv'$
• $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)$

(2). 复合函数（链式法则）#

• $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

(3). 反函数求导#

• $f'(x) = \frac{1}{(f^{-1})'(y)} \quad (y = f(x))$

(4). 幂指函数求导#

• 若 $y = u(x)^{v(x)} = e^{v(x) \ln u(x)}$，则：

$y' = u(x)^{v(x)} \left( v'(x) \ln u(x) + \frac{v(x) u'(x)}{u(x)} \right)$

(1). 基本函数的 $n$ 阶导数#

• $(x^m)^{(n)} = P_m^n x^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!} x^{m-n} \quad (n \le m)$；若 $n > m$ 则为 $0$
• $\left(\frac{1}{ax + b}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n! a^n}{(ax + b)^{n+1}}$
• $(\ln(ax + b))^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)! a^n}{(ax + b)^n}$
• $(e^{ax})^{(n)} = a^n e^{ax}$
• $(a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n$
• $(\sin(ax + b))^{(n)} = a^n \sin\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right)$
• $(\cos(ax + b))^{(n)} = a^n \cos\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right)$

(2). 莱布尼茨乘积求导公式 (Leibniz Rule)#

若 $u(x), v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则：

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

(1). 变限积分求导（含参变量积分）#

• 一般形式（含被积函数内参数 $x$）：

$\frac{d}{dx} \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(t, x) \, dt = f(\psi(x), x)\psi'(x) - f(\phi(x), x)\phi'(x) + \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} \frac{\partial f(t, x)}{\partial x} \, dt$

• 无内参形式：

$\frac{d}{dx} \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(t) \, dt = f(\psi(x))\psi'(x) - f(\phi(x))\phi'(x)$

(2). 参数方程求导#

设 $\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$，且 $\phi'(t) \neq 0$：

• 一阶导数：$\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$
• 二阶导数：$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\phi'(t)} = \frac{\psi''(t)\phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{[\phi'(t)]^3}$

(3). 隐函数求导#

由方程 $F(x, y) = 0$ 确定 $y = y(x)$，且 $F_y \neq 0$：

• 一阶导数：$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$
• 二阶导数：$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{F_{xx} F_y^2 - 2 F_{xy} F_x F_y + F_{yy} F_x^2}{F_y^3}$

(1). 幂函数与指数函数#

• $\int x^\mu \, dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C \quad (\mu \neq -1)$
• $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln \vert{}x\vert{} + C$
• $\int e^x \, dx = e^x + C$
• $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$

(2). 基本三角函数#

• $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
• $\int \cos x \, dx = \sin x + C$
• $\int \tan x \, dx = -\ln \vert{}\cos x\vert{} + C = \ln \vert{}\sec x\vert{} + C$
• $\int \cot x \, dx = \ln \vert{}\sin x\vert{} + C$
• $\int \sec x \, dx = \ln \vert{}\sec x + \tan x\vert{} + C = \ln \left\vert{} \tan\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right\vert{} + C$
• $\int \csc x \, dx = \ln \vert{}\csc x - \cot x\vert{} + C = \ln \left\vert{} \tan \frac{x}{2} \right\vert{} + C$

(3). 平方类与相乘类三角函数#

• $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
• $\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
• $\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$
• $\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C$

(4). 双曲函数#

• $\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$
• $\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$
• $\int \text{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C$

(1). 无理/有理二次分式#

• $\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$
• $\int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln \left\vert{} \frac{a+x}{a-x} \right\vert{} + C$
• $\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln \left\vert{} \frac{x-a}{x+a} \right\vert{} + C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C = \text{arsinh} \frac{x}{a} + C_1$
• $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \ln \vert{}x + \sqrt{x^2 - a^2}\vert{} + C$

(2). 二次根式分子型（三元组合）#

• $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a} + C$
• $\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C$
• $\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\vert{}x + \sqrt{x^2 - a^2}\vert{} + C$

(1). 华里斯公式（Wallis 公式 / 点火公式）#

$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为正偶数} \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1, & n \text{ 为正奇数} \end{cases}$

(2). 常用递推关系#

• $\int \tan^n x \, dx = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - \int \tan^{n-2} x \, dx \quad (n \ge 2)$
• $\int \sec^n x \, dx = \frac{1}{n-1} \sec^{n-2} x \tan x + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} x \, dx \quad (n \ge 2)$
• $\int \ln^n x \, dx = x \ln^n x - n \int \ln^{n-1} x \, dx$

(1). 定积分对称性与变式#

• 偶奇性：$\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0 \quad (f \text{ 为奇函数})$；$\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2\int_0^a f(x) \, dx \quad (f \text{ 为偶函数})$
• 区间再现公式：$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a + b - x) \, dx$
• 周期性：若 $f(x)$ 周期为 $T$，则对任意 $a$，有 $\int_a^{a+T} f(x) \, dx = \int_0^T f(x) \, dx$
• 对称轴变化：$\int_0^\pi x f(\sin x) \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \, dx$

(2). 经典广义积分（反常积分）#

• 高斯积分 (Gaussian Integral)：

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}, \quad \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

• 狄利克雷积分 (Dirichlet Integral)：

$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}$

• 欧拉-菲涅耳积分 (Fresnel Integrals)：

$\int_0^{+\infty} \sin(x^2) \, dx = \int_0^{+\infty} \cos(x^2) \, dx = \frac{\sqrt{2\pi}}{4}$

• 对数三角积分：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2$

(3). 伽马函数（Gamma Function）与贝塔函数（Beta Function）#

• $\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} x^{s-1} e^{-x} \, dx \quad (s > 0)$

• 性质：$\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$，当 $n$ 为整数时 $\Gamma(n+1) = n!$；$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$

• $B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \, dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2p-1} \theta \cos^{2q-1} \theta \, d\theta \quad (p > 0, q > 0)$

• 与 $\Gamma$ 函数的关系：

$B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$

(1). 三角与反三角函数#

• $\sin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $\arcsin x \sim x$
• $\arctan x \sim x$

(2). 指数与对数函数#

• $e^x - 1 \sim x$
• $a^x - 1 \sim x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)$
• $\ln(1 + x) \sim x$
• $\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a} \quad (a > 0, a \neq 1)$

(3). 幂函数广义式#

• $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \quad (\alpha \neq 0)$
• 特别地：
• $\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{2} x$
• $\frac{1}{\sqrt{1 + x}} - 1 \sim -\frac{1}{2} x$
• $\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n} x$

(4). 双曲与反双曲函数#

• $\sinh x \sim x$
• $\tanh x \sim x$
• $\text{arsinh}\, x \sim x$
• $\text{artanh}\, x \sim x$

(1). 二阶型（$x^2$ 阶）#

• $1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2$
• $1 - \cos^\alpha x \sim \frac{\alpha}{2} x^2$
• $\cosh x - 1 \sim \frac{1}{2} x^2$
• $e^x - 1 - x \sim \frac{1}{2} x^2$
• $x - \ln(1 + x) \sim \frac{1}{2} x^2$
• $(1 + x) \ln(1 + x) - x \sim \frac{1}{2} x^2$

(2). 三阶型（$x^3$ 阶 —— 高频难点）#

• $x - \sin x \sim \frac{1}{6} x^3$
• $\arcsin x - x \sim \frac{1}{6} x^3$
• $\tan x - x \sim \frac{1}{3} x^3$
• $x - \arctan x \sim \frac{1}{3} x^3$
• $\tan x - \sin x \sim \frac{1}{2} x^3$
• $\arcsin x - \arctan x \sim \frac{1}{2} x^3$
• $\text{artanh}\, x - x \sim \frac{1}{3} x^3$
• $x - \sinh x \sim -\frac{1}{6} x^3$

(1). 指数与对数变形#

• $e^{f(x)} - e^{g(x)} \sim e^{g(x)} (f(x) - g(x)) \quad (f(x), g(x) \to 0)$
• $\ln f(x) - \ln g(x) = \ln \left( 1 + \frac{f(x)-g(x)}{g(x)} \right) \sim \frac{f(x) - g(x)}{g(x)} \quad (f(x), g(x) \to 1)$
• $a^{f(x)} - b^{g(x)} \sim a^{f(x)} - b^{f(x)} + b^{f(x)} - b^{g(x)}$（常用于拆项）

(2). 幂指函数型（$1^\infty$ 型求极限常用）#

• $[1 + g(x)]^{f(x)} - 1 \sim f(x)g(x) \quad (g(x) \to 0, \, f(x)g(x) \to 0)$

(1). 乘除关系： 若 $\alpha \sim \alpha'$, $\beta \sim \beta'$，则 $\lim \frac{\alpha \cdot \beta}{\dots} = \lim \frac{\alpha' \cdot \beta'}{\dots}$，可以无条件替换。#

(2). 加减关系（代换条件）：#

若要对 $\alpha - \beta$ 中的 $\alpha, \beta$ 分别替换为 $\alpha', \beta'$：

• 允许替换： 当且仅当 $\lim \frac{\alpha'}{\beta'} \neq 1$（即两者不是同阶且同系数的无穷小）。
• 禁止替换： 若 $\lim \frac{\alpha'}{\beta'} = 1$（例如 $\tan x - \sin x$，若一阶替换变成 $x - x = 0$），直接替换会导致错解！此时必须使用高阶等价无穷小（$\tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3$）或泰勒展开式展开至相减后的首个非零项。

(1). 指数与对数函数#

• 指数函数 $e^x$（收敛域：$(-\infty, +\infty)$）

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} + o(x^n)$

• 特例变体：$a^x = e^{x \ln a} = \sum_{k=0}^n \frac{(\ln a)^k}{k!} x^k + o(x^n)$

• 对数函数 $\ln(1+x)$（收敛域：$(-1, 1]$）

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n + o(x^n) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k + o(x^n)$

• 对数函数 $\ln(1-x)$（收敛域：$[-1, 1)$）

$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots - \frac{x^n}{n} + o(x^n) = -\sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k} + o(x^n)$

(2). 三角函数与反三角函数#

• 正弦函数 $\sin x$（奇函数，收敛域：$(-\infty, +\infty)$）

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + o(x^{2n+2})$

• 余弦函数 $\cos x$（偶函数，收敛域：$(-\infty, +\infty)$）

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + o(x^{2n+1})$

• 正切函数 $\tan x$（奇函数，展开到 $x^5$ 或 $x^7$ 即可）

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + o(x^7)$

• 反正弦函数 $\arcsin x$（奇函数，收敛域：$[-1, 1]$）

$\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \frac{5}{112}x^7 + \cdots + \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} + o(x^{2n+2})$

• 反切函数 $\arctan x$（奇函数，收敛域：$[-1, 1]$）

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} + o(x^{2n+2})$

• 正割函数 $\sec x$（偶函数，高频）

$\sec x = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + o(x^6)$

(3). 二项式展开（Generalized Binomial Series）#

• 一般幂函数 $(1+x)^\alpha$（收敛域视 $\alpha$ 而定，至少在 $(-1, 1)$ 内收敛）

$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n + o(x^n)$

• 常见重要特例：
• $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + o(x^n) = \sum_{k=0}^n x^k + o(x^n) \quad (\vert{}x\vert{} < 1)$
• $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n) \quad (\vert{}x\vert{} < 1)$
• $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots + (-1)^n x^{2n} + o(x^{2n+1})$
• $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + o(x^4)$
• $\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 + o(x^4)$
• $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 + \frac{5}{16}x^6 + o(x^6)$

(1). 对数与余弦复合 $\ln(\cos x)$#

$\ln(\cos x) = \ln\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right) = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{45}x^6 + o(x^6)$

(2). 指数与三角复合 $e^{\sin x}$ 与 $e^{\cos x}$#

• $e^{\sin x} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{15}x^5 + o(x^5)$
• $e^{\cos x} = e \cdot e^{\cos x - 1} = e \left( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6} + o(x^4) \right)$

(3). 正弦与正切复合 $\tan(\sin x)$ 与 $\sin(\tan x)$#

• $\tan(\sin x) = x + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{30}x^5 + o(x^5)$
• $\sin(\tan x) = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{30}x^5 + o(x^5)$
• 经典差值：$\tan(\sin x) - \sin(\tan x) \sim -\frac{1}{15} x^5$

(1). 皮亚诺（Peano）余项（用于极限计算）#

$R_n(x) = o((x - x_0)^n)$

(2). 拉格朗日（Lagrange）余项（用于中值定理证明与不等式证明）#

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1} \quad (\xi \text{ 介于 } x_0 \text{ 与 } x \text{ 之间})$

(3). 积分余项（用于推导估计与收敛性分析）#

$R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^x (x - t)^n f^{(n+1)}(t) \, dt$

(1). 分式型极限：#

若分母是 $x^k$ 阶无穷小，分子必须展开到 $x^k$ 项（确保首个非零项显现）。

(2). 作差型极限 $A - B$：#

将 $A$ 与 $B$ 分别展开，直到两者系数首次不相等的那一项为止，前面抵消的低阶项即为消去项。